中考2018数学知识点:二元一次方程的解法

发表时间:2017-09-12 17:06:26 文章来源:三思教育网 www.srssn.com

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  二元一次方程的解法

  1、直接开平方法:

  直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±根号下n+m.

  例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11

  分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

  (1)解:(3x+1)2=7×

  ∴(3x+1)2=5

  ∴3x+1=±(注意不要丢解)

  ∴x=

  ∴原方程的解为x1=,x2=

  (2)解:9x2-24x+16=11

  ∴(3x-4)2=11

  ∴3x-4=±

  ∴x=

  ∴原方程的解为x1=,x2=

  2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

  先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

  将二次项系数化为1:x2+x=-

  方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+()2=-+()2

  方程左边成为一个完全平方式:(x+)2=

  当b^2-4ac≥0时,x+=±

  ∴x=(这就是求根公式)  例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注:X^2是X的平方)

  解:将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

  将二次项系数化为1:x2-x=

  方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+()2=+()2

  配方:(x-)2=

  直接开平方得:x-=±

  ∴x=

  ∴原方程的解为x1=,x2=.

  3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

  例3.用公式法解方程2x2-8x=-5

  解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0

  ∴a=2,b=-8,c=5

  b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

  ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

  ∴原方程的解为x1=,x2=.

4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

  例4.用因式分解法解下列方程:

  (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

  (3)6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学)

  (1)解:(x+3)(x-6)=-8化简整理得

  x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)

  (x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

  ∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

  ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

  (2)解:2x2+3x=0

  x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

  ∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

  ∴x1=0,x2=-是原方程的解。

  注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。

  (3)解:6x2+5x-50=0

  (2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

  ∴2x-5=0或3x+10=0

  ∴x1=,x2=-是原方程的解。

  (4)解:x2-2(+)x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法)

  (x-2)(x-2)=0

  ∴x1=2,x2=2是原方程的解。

  小结:  一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。

  直接开平方法是最基本的方法。

  公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。

  配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

  解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。


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